Les lunules d’Hippocrate.

mardi 2 octobre 2007
par  M. CRESPIN

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Etant donné un triangle ABC rectangle en A, on construit les demi-cercles de diamètres [AB], [AC] et [BC] comme le montre la figure ci-contre.
On peut justifier que le demi-cercle de diamètre [BC] passe bien par A (n’est-ce pas ?!). On obtient ainsi ces deux ‘lunes’ qui s’appellent les lunules d’Hippocrate.

En étudiant cette figure il est possible de démontrer que l’aire du triangle ABC est égale à la somme des aires des deux lunules ! Saurez-vous y arriver ?

Quelques indications et conseils :
- chercher un lien entre les aires des lunules, celles des demi-disques et celle du triangle
- poser AB=2c, AC=2b et BC=2a
- utiliser la formule de l’aire d’un disque en conservant la lettre π pour avoir des écritures exactes
- arranger les expressions et... inviter ce bon vieux Pythagore à sa table !